Persamaan dan Pertidaksamaan Linier

Posted by Ahmad Fallas on Thursday, April 20, 2017 in Materi SMA, Persamaan dan Pertidaksamaan | No comments

1.   Persamaan linear

Persamaan linear adalah persamaan yang pangkat variabelnya adalah satu. Bentuk umum persamaan linear adalah ax + b = c, a ≠ 0, a,b,c E R

Menyelesaikan persamaan linear adalah mencari pengganti variabel sehingga persamaan menjadi pernyataan yang bernilai benar

Contoh 1

Selesaikan 3x + 4 =16 !

Jawab

Agar 3x + 4 = 16 maka x diganti dengan 4, jadi penyelesaiannya x = 4

Sifat-sifat persamaan linear:

suatu persamaan tidak berubah nilainya jika ditambah atau dikurang dengan bilangan yang sama.

Suatu persamaan tidak berubah nilainya jika kedua ruas dikalikan atau dibagi dengan bilangan yang sama.

Contoh:

Tentukan penyelesaian dari persamaan:

6x –18 = 0

 

Jawab:

6x – 18 = 0

6x – 18 + 18 = 0 + 18 (kedua ruas ditambah 18)

6x  = 18

                      (kedua ruas dibagi 6 supaya ruas kiri hanya ada x)

                      (kedua ruas dibagi 6 supaya ruas kiri hanya ada x)

   x = 3

  (Kedua ruas dikurangi 6)

 (kedua ruas dikurangi 2x)

 

 

Jadi penyelesaiannya 12

Untuk memperpendek langkah-langkah penyelesaian maka ada langkah-langkah yang tidak perlu ditulis.

Contoh:

Untuk contoh soal a langkah-langkahnya menjadi :

6x – 18 = 0

       6x =18

     

             

            Untuk contoh soal b langkah – langkahnya menjadi:

   

         

           

2. Pertidaksamaan Linier

Pertidaksamaan adalah kalimat terbuka yang menggunakan tanda <, > , ≤ , ≥

Contoh:          

5 + x   >10

            x – 4  < 12

            3x – 2 ≤ 7

            2x + 6 ≥ 4

Ketidaksamaan adalah kalimat tertutup yang menggunakan tanda <, >, ≤, ≥

contoh:           

7 + 3 ≥ 15

            2 -6 < -4 + 10

            3 x 5 ≤ 5 x 6

            20 : 2 > 9 : 4

Penyelesaian Pertidaksamaan adalah konstanta pengganti variabel yang menyebabkan suatu pertidaksamaan menjadi kalimat yang benar.

Himpunan penyelesaian pertidaksamaan adalah himpunan yang memuat semua penyelesaian Pertidaksamaan linier.

• Sifat-sifat pertidaksamaan :

Suatu pertidaksamaan tidak berubah tandanya jika kedua ruas pertidaksamaan ditambah atau dikurangi dengan bilangan yang sama misal x > y maka x + a > y + a

Suatu pertidaksamaan tidak berubah tandanya jika kedua ruas dikali atau dibagi dengan bilangan positif yang sama, misalnya x ≤ y maka               a .x ≤ y. a  dengan a > 0

Suatu pertidaksamaan akan berubah tandanya jika kedua ruas dikali atau dibagi dengan bilangan negatif yang sama misal x ≤ y maka –x a ≥ -y a (berubah tanda karena kedua ruas dikali dengan bilangan negatif yang sama) misal x ≤ y maka  (berubah tanda karena kedua ruas dibagi dengan bilangan negatif yang sama.)

• Penyelesaian pertidaksamaan

Materi himpunan penyelesaian dari suatu pertidaksamaan dapat ditunjukan dendan notasi himpunan atau dengan garis bilangan.

Jika HP ditunjukan dengan garis bilangan , maka tanda < atau ≤ digambarkan dengan anak panah ke kiri, sedangkan tanda > atau ≥ digambarkan dengan anak panah ke kanan.

Titik yang menyatakan bilangan tertentu , maka tanda < atau > digambarkan dengan tanda kurung biasa, sedangkan tanda ≤  atau ≥ digambarkan dengan  tanda kurung siku

Contoh 1        

            Tentukan HP dan gambar pada garis bilangan dari pertidaksamaan

            3(x – 1) + 1 < 7

Jawab:

3( x – 1) + 1 < 7

3 x –3 + 1 < 7              Ruas kiri diselesaikan terlebih dahulu

3 x –2 < 7

3x –2 + 2 < 7 + 2        Kedua ruas ditambah lawan dari –2 yaitu 2

3 x < 9

                 Kedua ruas dikali dengan kebalikan dari 3 yaitu

3

                                                            HP = { x | x < 3 , x R}

Contoh 2

Tentukan HP dan gambar grafik garis bilangan dari suatu pertidaksamaan

 –2 ≤ 2 x – 4 ≤ 2 + x

Jawab:

Pertidaksamaan  –2 ≤ 2 x – 4 ≤ 2 + x terdapat dua tanda pertidaksamaan maka ada tiga ruas (ruas kiri, ruas tengah, ruas kanan) sehingga ada dua penyelesaian. Penyelesaian pertama , bentuk pertidaksamaannya adalah

- 2 ≤ 2 x – 4     Ruas kiri dan ruas tengah …….(a)

-2 x ≤ -4 +2

-2 x ≤ -2

    x ≥ 1            Berubah tandanya karena kedua ruas dibagi dengan –2

HP= {x | x ≥ 1, x R}

Penyelesaian kedua , bentuk pertidaksamaannya adalah

2 x – 4 ≤ 2 + x             Ruas tengah dan ruas kiri …..(b)

2 x – x ≤ 2 + 4

 x ≤ 6

                                               

              HP                 6                      HP = {x | x ≤ 6, x R}

Pertidaksamaan –2 ≤ 2 x – 4 ≤ 2 + x terdapat dua nilai x yaitu x ≥1 dan x ≤ 6 atau  1 ≤ x ≤ 6

Jika kedua grafik bilangan tersebut diatas digabung maka

Penyelesaian (a)

6

1

1

6

Penyelesaian (b)

Gabungan

Sehingga HP = {x | 1 ≤ x ≤ 6 , x R