Barisan dan Deret Geometri

Posted by Ahmad Fallas on Tuesday, April 18, 2017 in Materi SMA | No comments

Barisan dan Deret Geometri

1. Barisan Geometri

Perhatikan barisan bilangan berikut.

• 2, 4, 8, 16,…
• 81, 27, 9, 3,…
Pada kedua barisan tersebut, dapatkah Anda menentukan pola yang dimiliki oleh masing-masing barisan? Tentu saja pola yang didapat akan berbeda dengan pola yang Anda dapat ketika mempelajari barisan aritmetika. Selanjutnya, cobalah Anda bandingkan antara setiap dua suku yang berurutan pada masing-masing barisan tersebut. Apa yang Anda peroleh?
Ketika Anda membandingkan setiap dua suku yang berurutan pada barisan tersebut, Anda akan mendapatkan perbandingan yang sama. Untuk barisan yang pertama, diperoleh perbandingan sebagai berikut.
4/2=2, 8/4=2, 16/8=2,….
Bilangan 2 disebut sebagai rasio dari barisan yang dilambangkan dengan r. Barisan yang memiliki rasio seperti ini dinamakan barisan geometri.

Definisi Barisan Geometri
Misalkan suatu barisan bilangan. Barisan bilangan tersebut dikatakan sebagai barisan geometri apabila memenuhi = = .. = = r, dengan r = rasio atau pembanding.
Jika diketahui suatu barisan geometri , dan dimisalkan dengan rasionya r maka Anda dapat menuliskan:



.
.
.


Rumus Suku ke–n Barisan Geometri
Misalkan terdapat suatu barisan geometri maka rumus umum suku ke-n dengan suku pertamanya a dan rasionya r adalah

2. Deret Geometri
Secara umum, dari suatu barisan geometri dengan dan rasio r, Anda dapat memperoleh bentuk umum deret geometri, yaitu = . Seperti pada deret aritmetika, jika Anda menjumlahkan barisan geometri maka Anda akan memperoleh deret geometri. Jika menyatakan jumlah n suku pertama dari suatu deret geometri maka Anda peroleh
…(1)
Untuk mendapatkan rumus jumlah n suku pertama deret geometri, kalikanlah persamaan (1) dengan r, diperoleh
…(2)
Seperti pada deret aritmetika, pada deret geometri pun Anda akan memperoleh jumlah deret geometri.
Selanjutnya, cari selisih dari persamaan (1) dan persamaan (2). Dalam hal ini,
Pandang :


Sehingga :





Definisi Deret Geometri
Misalkan adalah barisan geometri maka pemjumlahan adalah deret geometri.
Definisi
Suku ke-n suatu barisan geometri adalah Un.
Contoh :
Jika , dan = 8k + 4 maka = …
a. 81
b. 162
c. 324
d. 648
e. 864
Jawab:

langkah pertama tentukan nilai r.
= 3k / k = 3
Selanjutnya, tentukan nilai k.
=
3 =
9k = 8k + 4
k = 4
Oleh karena = k maka = 4, dengan demikian,





Rumus Jumlah n Suku Pertama dari Deret Geometri
Misalkan merupakan deret geometri, dengan suku pertama adan rasio r, maka jumlah n suku pertama () dari deret tersebut adalah atau
Contoh :
Diketahui deret 4 + 12 + 36 + 108 …
Tentukan:
a. rumus jumlah n suku pertama,
b. jumlah 7 suku pertamanya
Jawab:
4 + 12 + 36 + 108 …
Dari deret tersebut diketahui a = 4 dan r = 12/4 = 3




Jadi, rumus umum jumlah n suku pertama deret tersebut adalah

Jumlah 7 suku pertama

= 2(2187 – 1)
= 4372
Jadi, jumlah 7 suku pertamanya adalah 4.372.